OSA_1_Stochastický-proces

up:: ZK nav:: --- / ⇒

1. Stochastický proces

Vysvětlete pojem Stochastický proces

(pouze definice nestačí, cíl je pochopit a vysvětlit)

.

Image

2

3

---

• Podstata: Model vývoje systémů v čase, kde hraje zásadní roli náhoda. Nejde o jedno statické náhodné číslo, ale o celý náhodný vývoj (film namísto jedné fotky).
• Matematický pohled: $X(t)=f(t,e)$, kde $t$ je čas (deterministická složka, kterou řídíme) a $e$ je nejistota/náhoda (stochastická složka, kterou neovlivníme).
• Klíčové koncepty:
  • Realizace: Konkrétní „příběh“ neboli historický průběh, který se už stal. Zpětně už je to čistě nenáhodná, pevná funkce.
  • Průsek: Pohled na proces v jeden konkrétní časový okamžik $t$. Chová se jako klasická náhodná veličina („zmrazení“ času).
• Klasifikace: Dělí se podle toho, zda je čas a stavový prostor diskrétní (skoky) nebo spojitý (plynulý).
  • Diskrétní čas i hodnoty: Typickým zástupcem jsou Markovské řetězce.
  • Spojitý čas, diskrétní hodnoty: Typické pro teorii front (např. Poissonův proces příchodů).
  • Spojité obojí: Používá se pro modelování přírodních a fyzikálních jevů.
• Příklady sub-systémů:
  • Markovské řetězce: Systémy bez paměti, kde budoucnost závisí pouze na přítomnosti, nikoliv na historii.
  • Teorie front (Kendallova klasifikace): Modelování příchodů, čekání a obsluhy požadavků v systémech hromadné obsluhy. [[#|(more)]]

More

( P1, P2 )

• Náhodný (výrazy ze stochastických modelů)
  • jev
    • Výsledek náhodného pokusu.
    • Po uskutečnění pokusu, jsme schopni říci, zda nastal či ne.
    • Událost, ke které je přiřazena pravděpodobnost s jakou nastává.
  • pokus
    • Nastavení určité množiny podmínek.
    • Výsledek není předem zřejmý, ale známe výčet všech možných výsledků.
  • veličina
    • Může nabývat různých hodnot
    • Tyto hodnoty nabývá s jistou pravděpodobností.
    • Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu.
• Stochastický proces
  • = funkce dvou proměnných, jedna z nich je náhodná (obvykle čas) a druhá nenáhodná
    • $X(t)=f(t,e)$
    • Je to proces, který nelze předvídat
    • např: Akciový trh
  • Realizace = čase do konce
    • Nenáhodná funkce, popisuje možné realizace
  • Průsek = sledování v nějakém okamžiku t
    • náhodná veličina, Je to vlastně hodnota té funkce v určitém sledovaném okamžiku (bodě) v nějakém čase t → to je právě ten akciový trh
  • 🖼️
    • 
  • 🖼️Klasifikace
    • 
• Bernoulliho pravděpodobnost
  • Binomické rozdělení (kostky)
• Fronty ( Teorie hromadné obsluhy )
  • požadavky (zákazníci) chodí k obslužnému místu (server) a ten je obsluhuje
• Fronty: Kendallova klasifikace
  • A/B/X/Y/Z
    • Typ rozdělení pravděpodobnosti
      • A - popisující intervaly mezi příchody
      • B - popisující dobu trvání obsluhy
      • typy
        • M - Poissonův process, exponenciální rozdělení
        • D - konstantní intervaly mezi příchody
        • N - normální rozdělení
        • G - nespecifikované rozdělení
    • X - Počet paralelních kanálů (kolik front se stojí)
    • Y - Kapacita systému
    • Z - Frontový režim (FIFO, LIFO, SIRO, … )
    • note
      • Počítali jsme M/M/1 (Poisssonuv/Exponenciální/1 kanál)
      • Vlastnosti:
        • Orderliness - v 1 okamžik přichází max 1 zákazník
        • Stationarity – v časovém intervalu je pravděpodobnost příchodu stejná
        • Independence – příchod jednoho neovlivní druhého
      • Intenzita provozu
        • ideální = <0,6 ; 0,8>
        • 1 = selhání
        • 0 = nic nedělá
• Markovské řetězce
  • Obě veličiny jsou diskrétní ( e + t )
  • Markovská vlastnost
    • pravděpodobnost následujícího stavu je závislá pouze na současném = Nemá to paměť
    • ( př. Opilcova procházka - každý krok záleží na tom předchozím. Nebo algoritmus na náhodná čísla v počítači )
  • Matice přechodů P
    • obsahuje podmíněné pravděpodobnosti přechodu ze stavu i do stavu j (čtvercová, řádek je roven 1)
    • Homogenní ( P se nemění )
  • Vektor ? pravděpodobností
    • absolutních
      • udává pravděpodobnost nastání jevu v počátečním stavu (nebo jiném, ale nejčastěji počátek)
    • limitních (pí)
      • po určité době přestane záležet na počátečním stavu, pravděpodobnosti se ustálí na nějaké hodnotě, taky = 1,
      • ( vypočítáme to tak že máme absolutní pravděpodobnosti a roztáhneme v excelu, nebo pomocí inverzní matice a součinu matic pravých stran a inverze )
  • Stav
    • Rekurentní
      • stav, kde je jisté, že do něj v budoucnu opět vstoupí
    • Přechodný
      • stav, kde je pravděpodobnost, že už nebude v budoucnu navštíven
    • Absorpční
      • stav, který nelze opustit
    • ( Fundamentální matice )
      • průměrný počet návštěv stavu j před absorbováním
  • ( note: naučte se to vysvětlit na příkladu, třeba toho ze zápočtu T1 )